В большинстве случаев GPS указывает наше местоположение с точностью до нескольких метров. Но все мы сталкивались с ситуациями, когда возможная погрешность увеличивается в сотню раз или указанное местоположение просто неверно. Одной из причин может быть малое количество спутников, находящихся в прямой видимости с навигационным устройством, или неблагоприятное взаимное расположение космических аппаратов.

Как работает GPS?

Спутники GPS оснащены чрезвычайно точными атомными часами и всегда знают свое местоположение. Они постоянно передают время и координаты с помощью радиоволн. Мобильный телефон или другое навигационное устройство принимает эти сигналы со всех спутников, находящихся в пределах прямой видимости. Разница между временем получения и временем передачи, зафиксированным спутниковыми часами, позволяет вычислить расстояние, преодолеваемое радиоволной. Затем положение спутников и полученные расстояния используются для расчета местонахождения приемника.

Это упрощенное описание не учитывает тот факт, что локальные часы в приемнике не являются атомными. Если они будут неточным хотя бы на одну миллионную долю секунды, то результат вычисления "соврет" минимум на 300 метров. Проблема GPS заключается в том, что именно телефону или другому навигационному устройству необходимо определять точное время и местоположение.

Если в зоне прямой видимости находится слишком мало спутников, система перестает работать надежно и предоставляет несколько решений. Другими словами, расчеты покажут большое количество разных мест, где может находиться приемник. Это может привести к тому, что телефон укажет неправильное местоположение или вообще не укажет его. До сих пор точное число спутников, необходимое для получения уникальных, а значит, правильных, решений проблемы GPS, было неизвестно.

Пять спутников

Мирей Бутен, профессор дискретной алгебры и геометрии в Техническом университете Эйндховена, и Грегор Кемпер, профессор алгоритмической алгебры из Мюнхенского технического университета, представили математическое доказательство, показывающее, что при наличии пяти или более спутников точное положение приемника может быть однозначно определено почти во всех случаях. 

"Хотя это была давняя гипотеза, никому не удавалось найти доказательства, — объясняет Кемпер. —  Это было далеко не просто: мы работали над проблемой больше года, прежде чем дошли до цели".

В настоящее время из каждой конкретной точки на Земле можно иметь визуальный контакт как минимум с четырьмя спутниками. 

"Грубо говоря, имея всего четыре спутника, вероятность найти уникальное решение проблемы GPS составляет 50%, — говорит Кемпер. — Доказательство этого утверждения — один из наших следующих проектов". 

При трех и менее спутниках в прямой видимости GPS-навигация гарантированно не работает.

Геометрия и уникальность

В рамках своего исследования ученые пришли к доказательству, охарактеризовав проблему GPS в геометрических терминах. Они выяснили, что положение приемника нельзя определить однозначно, если спутники расположены на гиперболоиде вращения из двух листов. Это изогнутая поверхность, открытая во всех направлениях. 

Хотя полученный результат является теоретическим, он имеет практическое преимущество, поскольку позволяет лучше понять неточности в определении местоположения.

Исследование опубликовано в журнале Advances in Applied Mathematics.